Trou
noir : Variation d’Horizon et limitation d’Heisenberg
2) Avancer
l’horizon pour le faire franchir et le
réduire pour extraire de l’information
3) Insuffisance de
la relation d’incertitude en
relativité générale (cas des corps macroscopiques)
4) Energie
relativiste, relation d’Heisenberg et
horizon de particule
La métrique relie les variants d’espace et de temps. Sa distorsion produite par la présence d’une masse induit une perspective diffèrentes entre un observateur galiléen et un observateur en chute libre constamment accéléré.
Dans le premier cas le temps de chute de l’objet attirée vers le trou noir tend vers l’infini comme l’objet se rapproche d’un horizon. Mais dans l ‘autre cas le temps de chute est fini et l’horizon ne constitue pas une barrière.
Nous allons étudier les temps de chute respectives dans le trou noir et essayer de déterminer dans quelles conditions le rapprochement d’un corps induit un élargissement de l’horizon et donc supprime cette apparence d’infini ; l’infini est ramené au dimension du fini même dans le cas du repère galiléen.
Nous allons montrer également l’impossibilité des relations d’Heisenberg dans le cas de cet espace trou noir tout en montrant que la forme de l’énergie dans le cas des repères galiléens induit une forme proche des relations d’Heisenberg justifiant de son application dans le cas des repères galiléens ce qui conduit à la notion de champs quantiques relativistes.
Du point de vue de
l’objet en
chute libre
La conservation de
l’énergie dans
un mouvement de chute libre d’origine r(t=0)=r0
et dr/dt(t=0)=0
s’exprime
par E= constante = ½ (dr/dt)²
- GM/r = ½ (dr/dt)²
(en r= r0)
- GM/ r0 = - GM/ r0 (1)
dont
la
dérivée première redonne la formule
de l’accélération dans un champ de pesanteur.
D²r/dt² +GM/r² =0 (2)
(cf
http://cdfinfo.in2p3.fr/~froissart/h2001/cours01/node33.html)
Le temps de chute à partir du périastre r= r0 est donnée par :
(dr/dt)² = 2GM/r – 2GM/ r0 = 2GM(r0 –r) / ( r* r0)
dt
=
∫ dr (( r* r0) /2GM(r0 –r))1/2 0<r < r0
Posons r = r0
sin²u
dr= 2r0 sinu
cosu du
t chute = ∫ 2 r0 sinu cos u sinu /cos u du (r0² /2GMr0)1/2 0 <u <π/2
t chute = (r0 /2GM)1/2 ∫ 2 r0 sin²u du 0 <u <π/2
Or ∫sin²u du=∫ (-cos(u+π/2))²
du 0<u< π/2
= ∫cos²vdv π/2 <v< π
= ∫cos²(-v)dv 0<v<
π/2 = ∫cos²(v) dv 0<v<
π/2 (1)
et ∫sin²u 0<u<
π/2= π/2 - ∫cos²u 0<u<
π/2 (2)
(1)
réinjecté dans (2) donne
∫sin²u du 0<u< π/2= π/2 - ∫sin²udu
ce
qui
résulte en ∫sin²udu = π/4
Le
temps cherché est donc :
t = π (R3/8GM)1/2
Ou t = π/(2c)*R √R/Rschwarzschild
Typiquement pour le
trou noir
galactique du centre galactique Sagittaire A de masse estimée 2,9 106
masses solaires (avec masse solaire = 1,99 1030 kg).
Si l’on suppose une
chute à 200
millions de km du centre
S = 5062 s ~ 1h 25 mn
Du point de vue de
l’observateur externe
Appliquons la métrique de Schwarzschild
Ds²= -dr²/(1-2m/r) + c²dt²(1-2m/r) (1)
Prenons le cas le plus simple : le chemin de lumière de géodésique ds min =0 (ds conservé de l’infini jusqu’à l’horizon)
On a donc dr/dt =c(1-2m/r) (2)
R=µ dr/dt = c R=2m dr/dt=0
Dr²/dt² =
2mc(dr/dt)/r² = 2mc² (1-2m/r)/r² (3)
R=µ dr²/dt² = 0 R=2m dr²/dt²=0
Dr3/dt3 = 2mc²/r4
(r²2m(dr/dt)/r² -2rdr/dt (1-2m/r))
Dr3/dt3 = (Dr/dt)/ r4
(2m- 2r +4m)
Dr3/dt3 = (Dr/dt)/ r4
(3m- r)
(4)
Dr3/dt3 =0 vrai quand r= 2m (car dr./dt=0), r=µ et r=3m
r=3m implique Dr²/dt² max= 2mc² (1-2m/r)/r² = 2c² /27m et dr/dt = c/3
En fait du fait de la chute dr²/dt² = - 2c² /27m vu de l’observateur galiléen (donc à R=µ pour dr²/dt² = 0).
La lumière de vitesse radiale c quand elle quitte l’observateur à l’infini ralentit (le maximum de ralentissement a lieu à une distance de 1,5 horizon), sa vitesse est alors de c/3 et la lumière semble s’arrêter sur l’horizon.
Bien sur dans l’objet en chute la lumière a toujours une vitesse locale c.
La description est plus complexe quand ds<>0 (corps de masse non nulle) car ds peut changer avec la courbure
L=cT quand R tend vers 2m L tend vers l’infini. Même à v=c il faut un temps T infini pour parcourir la longueur d’onde.
Quel est le temps de chute ?
A partir de l’équation (2)
dr/dt =c(1-2m/r)
d’où rdr/(r-2m) =cdt avec r de 2m+e à D
en posant r’=r-2m de e à D-2m
(r’+2m)dr’ /r’ =cdt
d’où D-2m-e +2mLn (D-2m)/e = ct
proche de D-e +2mLn D/e =ct (5)
En fait la part du temps de chute déterminée par la proximité à l’horizon ne devient déterminante que si D < < 2mLn D/e ou D/e >> exp (D/2m) e<< D/exp(D/2m)
A quelle distance le trou noir a-t-il une influence négligeable pour considérer que le corps à une vitesse négligeable ? Pour un trou noir stellaire d’horizon 2m = 3 km l’effet est totalement négligeable dès que D ~qq centaines de km. Or son influence est d’environ D= 100 milliards de km
Comment évolue l’horizon d’un trou noir vu d’un observateur galiléen externe ?
Le rayon évolue de façon monotone par absorption d’énergie mais comment qui ne recevra jamais d’information sur le franchissement de l’horizon par des objets ?
Comment le trou noir s’est il même jamais formé ?
En fait il ne se forme jamais vraiment et toutes les couches stellaires au-delà de l’horizon s’effondrent continûment vers l’horizon vu du référentiel externe galiléen.
Mais ceci est vrai pour une définition de l’horizon fixe.
Que se passe t-il lorsque la densité sur une couche de l’horizon d’épaisseur Rplanck a une densité suffisante pour accroître l’horizon ? Peut –on même considérer que l’épaisseur à partir de laquelle la position ne peut plus être déterminée est peut être réduite à λ=h/p (cette formule est elle-même approximative car elle n’est valable que dans le cas de la relativité galiléenne)
L’horizon doit s’accroître et les couches stellaires (ou tout objet qui tombent postérieurement) doivent franchir l’horizon qui s’étend.
C’est un moyen de ramener vers soi l’horizon qui est le lieu d’un rayon de courbure infiniment courbé ; l’infini est ramené au fini.
Inversement si on envoie un objet dense qui fait accroître localement l’horizon mais qu’il soit programmé dès le franchissement pour éclater réduisant la densité locale ; l’horizon devrait croître puis décroître permettant de recueillir certains éléments de l’objet et de recueillir de l’information sur l’au-delà d’un horizon instable.
La métrique de Schwarzschild réduite au cas de déplacement radiaux est donnée par :
ds²= dr²/(1-2m/r)
+c²dt² (1-2m /r) avec m=GM/c²
En considérant les géodésiques ds²=0
∫ Dinitial à λ=h/p dr/(1-2m/r) = ∫ 0à T cdt de solution cT= Dinitial-2m +2m Ln(Dinitial-2m)/ λ
Exemple pour un trou noir stellaire M ~ 5 1030 et m~10² et on a cT~Dinitial +2mLn(Dinitial/ λ)
On a donc tout simplement dans le cas général T ~Dinitial/c
Que se passe t-il au bout de ce temps ?
La densité de l’objet va contribuer à accroître l’horizon à la condition
ρobjet
> ρ schwarzschild
M objet /λ3 > M /(4π/3R3) avec R =2m
M objet /λ3 > 3c6 /(32πG3M²)
En première approximation λ= h(1-v²/c²)1/2 /Mobjetv (il faudrait que λ >> λ planck).
Dans ce cas il vient M objet /λ3 = Mobjet4 V3/((1-v²/c²)3/2 h3) > 3c6 /(32πG3M²)
D’où M> c6 / (V3Mobjet2
) *(3/32π (h(1-v²/c²)1/2 /G)3)1/2
Si Mobjet ~ 10-28
kg
(proton) et v =c(1-10-10) alors M
~ 1,2*1030
kg (trou noir stellaire)
Mais l’accroissement de la taille de l’horizon
serait
impossible à mesurer :
λ proton ~ 10-15 m << Rhorizon~103 m.
Affinons le calcul
Classique p=Mv
Relativite restreinte p =Mvβ dr²-c²dt²=0
Relativite generale (pour des trajectoires radiales) p =Mvβ (1-2m/r) car dr²-c²dt²(1-2m :r)²=0
V tend vers c E tend vers pc
Or ρ~E/λ3 =Ep3/h3 ~p4c/h3
(1) en J/m3
Or p =Mvβ (1-2m/r) (2)
Quelle est la valeur de p lorsque r ~2m+ λ= 2m + h/p
Reinjecté dans (2) p = mvβ (1-2m/(2m+h/p))
D’où p =1/(4m) *(-h+/-
(h²+8mMvβh)1/2)
On peut considérer que h << 8mMvβ quand la
sonde
a une vitesse v tend vers c et que le corps massif est un trou noir
stellaire
on a en effet 10-34 << 103 10-28
108
D’où p= √ (Msondevβh/2m) (3)
ρ sonde ~ p4c/h3
ρ schw = Mc²/(4π/3 (2GM/c²)3) =3c8/(32πG3M²) en J/m3
Pour que la sonde arrivant au bord de l’horizon
accroisse
l’horizon vu du repère externe, il faut
que
ρ sonde > ρ schw trou noir
d’où p4c/h3 > 3c8/(32πG3M²)
p4 > 3c7 h3/(32πG3M²)
Réinjectons (3)
(Msondevβh/2m)² > 3c7 h3/(32πG3M²)
M²sonde v² /(1-v²/c²)
> 3h c3/(8πG)
indépendant de la masse du trou noir !
V²(M²sonde+3hc/8πG) > 3h c3/8πG
v² > 3h c3
/(3hc+8πGM² sonde)) = c²/(1+ 8πGM²sonde/3hc)
d’où facteur β > (1+
3hc/(8πGM²sonde))1/2
pour un proton v seuil ~ c (1-10-20) (ce qui signifie que la particule devrait être accélérer bien au-delà de l’accélération due à la chute dans le trou noir, ce n’est pas envisageable.
β ~1,1 1019
pour
λ=h/p = 7 10-16 m
mais pour un corps
macroscopique
m=1kg vseuil
~5 m/s β ~1 mais λ=h/p = 2 10-25 m
En fait un corps macroscopique serait accéléré bien au-delà de 5 m/s ; sa vitesse tendrait vers c (mais la longueur apparente et le temps apparent tendent tous deux vers l’infini,d’où la conclusion que la sonde ne franchit jamais l’horizon). Ce qui signifie que la longueur d’onde serait encore plus réduite.
En conclusion accélérer une particule à une vitesse extrêmement proche de c est irréaliste ; les particules ne permettent pas de provoquer un accroissement de l’horizon
Mais un corps macroscopique ,
s’il
provoque bien un accroissement de l’horizon, le ferait de façon si
réduite
(l’extension de l’horizon est de l’ordre de la longueur d’onde) que
l’effet ne
serait pas visible.
ΔxΔp >h
Δp = mv /(1-v²/c²)1/2
Δx =h/ Δp = h(1-v²/c²)1/2
/(mvmax)
Or Δx min =2GM/c² (effet Schwarzchild)
formule relativité générale
D’où 2GM/c² = h(1-v²/c²)1/2
/(mvmax)
Vmax = hc²
/((2GM²)²+(hc)²)
1/2
Le seuil est M = (hc/(2G)) 1/2~ 10-7 kg
On retrouve V max= c pour toutes les particules
Mais pour un corps macroscopique V max ~ hc²/(2GM²)
Exemple
M=1kg V max =4,46 10-7 m/s
Or on a bien évidemment des masses de 1 kg à 1030
kg qui se projètent à plusieurs centaines de km/s
On ne peut donc pas appliquer directement la relation d’incertitude à des corps complexes composée de particules.
La relation d’incertitude n’est compatible qu’avec
les
formules de la relativité restreinte et devient insuffisante lorsqu’on
introduit des formules où déduite de la relativité générale (cas des
corps
massif).
Des phénomènes de décohérence ne permettent plus
d’exprimer
une impossibilité formelle de mesure simultanée de position et de
quantité de
mouvement, à la précision requise pour localiser le corps.
ΔE² = Δ((mc²)²+(pc)²) =
2(pc)c Δp = 2mvβc² Δp
D’autre part
ΔE² =2EΔE = 2((mc²)²+(pc)²)1/2
ΔE
= 2((mc²)²+( mvβc)²)1/2
ΔE
D’où 2mvβc²
Δp = 2((mc²)²+( mvβc)²)1/2
ΔE
4(mvβ)²c4 (Δp)² = 4((mc²)²+( mvβc)²) (ΔE)²
(mvβc)² ((Δpc)² - (ΔE)² ) = (mc²)²(ΔE)²
(vβ/c)² ((Δpc)² - (ΔE)² ) = (ΔE)²
(ΔE)²
( 1 + (vβ/c)²) = Δ(pc)² (vβ/c)²
ΔE / Δ(pc)
= (vβ/c)/ ( 1 + (vβ/c)²)1/2
= v/(c *(1-v²/c²)1/2 ) * (1-v²/c²)1/2
/(1-v²/c²+v²/c²)1/2
= v/c
d’où ΔE / Δp = v
Il vient ΔE / Δp = Δx / Δt
On aboutit alors à ΔE = f/ Δt et Δp= f/ Δx f
étant une fonction quelconque
La quantification
permet de
poser f= h
D’où ΔE = h/ Δt et
Δp= h/ Δx
En conclusion la formule E² = (mc²)²+(pc)² impliquerait la relation D’Heisenberg ΔE= h/Δt et Δp= h/Δx comme cas particulier.
Inversement la relation d’incertitude n’est
compatible que
des formules de l’énergie établie dans le cas de repères galiléens
(relativité restreinte)
Si une particule est actualisée (elle est sur sa
couche de
masse) alors elle vérifie les relations d’Heisenberg.
La relation d’Heisenberg exprime donc le cas
limite. En deçà
de cette incertitude, la particule n’est plus actualisée ; elle
est
virtuelle et aucune information ne peut en être extraite.
Autrement dit la relation d’Heisenberg exprime un
horizon.